[Basic Statistics : CH 4. 확률분포] 확률분포, 이항분포, 포아송분포

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CH4. 확률분포

01 . 확률분포

001. 확률분포

- 확률분포( Probability Distribution )  :  발생할 사건에 대해 확률을 나열한 것 

   > 과거의 데이터가 많다면, 의사결정을 하는데 유리하다.

   > 확률 분포도(그래프)와 확률 분포 표(표) 

 

002. 균등분포( Uniform distribution )

- 주사위 던지기의 예와 같이 과거의 경험이 미래를 예측하는데 어떤 영향도 미치지 않으며, 나타날 가능성이 모두 동일한 분포

 

1. 이산균등분포 ( discrete uniform  distribution) 

  : 이산 확률분포 중 확률 함수가 정의된 모든 곳에서 그 값이 일정한 분포를 의미함 

    ex, 주사위 던지기

     

2. 연속 균등 분포 : 시간의 흐름과 같이 구분할 수 없는 것 

 

003. 정규분포 ( normal distribution )

정규분포 : 축적된 데이터를 기준으로 미래를 예측할 수 있는 분포, 평균과 분산으로 특성을 다 설명할 수 있는 분포

- 평균에 대해서 가장 많이 모여있으며, 좌우 대칭인 가운데가 볼록 올라와 있는 분포

- 표본 분포 중에서 가장 단순하면서 많이 나타나는 형태의 분포

- 어떤 사건이 일어난 빈도를 계산하여 그래프로 나타내면 중심(평균)을 기준으로 좌우가 대칭되는 분포 

 

1. 정규분포란? 

- 정규분포를 간단히 표현하는 것 : 

 = 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포

 

- 연속 확률변수 X의 확률 밀도 함수 f(x)

2. 정규분포 곡선의 성질

- σ가 일정할 때, m이 클수록 오른쪽으로 이동한다. 

- m가 일정할 때, σ 가 커질수록 그래프의 폭이 넓어진다.  = 분산이 커진다.  = 값들이 퍼져있다.

정규분포

 

004.  표준 정규 분포 ( standard normal distribution )

: 서로 다른 정규분포를 비교할 수 있도록 여러 개의 분포를 어떤 하나의 기준으로 재배치해서 서로 비교할 수 있도록 한 표준화된 분포
- 정규분포를 0을 기준으로 재 배치하는 것

 

1. 표준 정규분포란?

- 표준 정규분포를 간단히 표시하는 것 : N(0,1) = 평균이 0이고 σ가 1 인 것 

- 연속 확률변수 X의 확률 밀도 함수 f(x)

 

 

 

2. 정규분포를 표준 정규분포로 변경

오른쪽 사진 출처 : http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=1995

 

 

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02. 이항 분포

** 이항분포 : 두 가지의 항목으로 된 분포 , 서로 반대가 되는 사건으로 된 것 

001. 베르누이 시행 ( Bernoulli's trials )

베르누이 시행 : 서로 반대되는 사건이 일어나는 실험을 반복적으로 실행하는 것

                     반드시 결과가 두 개만 존재. 반대되는 사건이 동시에 나오지 않음 - 배타적 사건이 돼야 함. 

                     ex, 동전 던지기 - 앞/뒤 

 

> 베르누이 시행의 결과를 바탕으로 이항 분포를 설명함 

 

002. 베르누이 분포 ( Bernoulli's distribution )

베르누이 시행을 확률 분포로 나타낸 것

-> 성공 확률을 p(x =1 인 경우)라 할 때, 실패 확률은 1-p ( x =0 인경우)라고 가정.

    서로 반대되는 배반 사건이기 때문에 확률은 100%에서 빼는 것 

 

** 베르누이 분포의 평균과 분산

- 평균 = p

- 분산 = p(1-p)

003. 이항분포 ( binomial distribution )

이항분포 : 연속적인 베르누이 시행을 거쳐 나타나는 확률 분포 

              독립된 베르누이 시행을 n을 반복했을 때, x 가 나타는 확률

              X ~ B ( n , p) 

 

** 이항분포의 평균과 분산 

- 평균 = np

- 분산 = np(1-p)

 

004. 이항분포의 확률

이항분포의 확률 : n 번의 시행에서 성공확률 (p)이 r 번 나타날 확률이며, n번의 시행에서 r번 관찰되는 것(이항계수)을 nCr로 표현할 수 있음 

 

- r 번 성공할 확률과 (n-r)번의 실패할 확률을 곱하면, 이항분포의 확률 함수는 

- (n r) = n! / r!*(n-r)! = nCr 을 의미함 : 이항계수 라고 함. 여러번 걸쳐서 하는 실험이기 때문에 횟수와 관련이 있음.

- n : 총횟수 / r = 성공 횟수 / n-r : 실패 횟수 

- 이항계수는 고등학교때 배운 nCr 조합을 의미한다. 

** 참고 : nCr = nC(n-r) 와 같은 의미이다.

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03. 포아송분포

001. 포아송 분포 ( poisson distribution )

1. 포아송 분포 

포아송 분포 : 특정한 사건이 발생할 가능성이 매우 드문 경우의 확률분포 

                  단위 시간 안에 어떤 사건이 몇 번 발생할 것인지 표현하는 이산 확률 분포

                  일정한 단위 시간, 단위 공간에 어떤 사건이 랜덤 하게 발생하는 경우에 사용할 수 있는 이산형 확률분포

ex , 야구 관람 중에 홈런볼이나 파울볼을 받을 확률 / 1시간 동안 은행에 방문하는 고객의 수 , 

      1시간 동안 콜센터로 걸려오는 전화의 수 

 

2. 포아송 분포의 확률

- n(시행 횟수)가 무한대이거나 p(일어날 확률)이 매우 작으면, 이항 분포를 사용하기 힘듦 

  > 이러한 상황에서 포아송 분포를 이용함. ( 측정하기 불가능할 정도로 힘들 때 사용. )

 

- 이항 분포의 확률에서 포아송 분포에 대한 식을 유도할 수 있음

- ex. 말을 타는 횟수 (n) 중 말에서 떨어지는 사고가 발생하는 횟수 (x)

포아송분포 유도

 

002. 포아송 분포 특징 

- 포아송분포의 평균과 분산 모두  λ 이다.

-  λ( lambda ) : 일정한 단위 시간 / 단위 공간에서 랜덤 하게 발생하는 사건의 평균 횟수를 의미함

-  λ 가 커지면 평균이 커지므로 그래프가 우측으로 이동하고, 분산이 커지므로 좌우가 퍼짐.

포아송 분포  출처 : https://hsm-edu.tistory.com/837

참고 자료 : hsm-edu.tistory.com/837 

[손으로 푸는 확률분포] 6. 푸아송분포 (6) 그래프

 

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공부 교재 및 참고 : 제대로 시작하는 기초통계학 

사회조사분석사

math100.tistory.com/17

이항분포의 확률 구하는 법

j1w2k3.tistory.com/546

[적분과 통계이론 23탄] 정규분포와 표준화

https://www.youtube.com/watch?v=jGOqkljySu8&list=PLsri7w6p16vuDN55ZGHVYnitXs2R1Wz6q