[Python_Statistics : 1절 기초통계] 용어정리, 실험, 확률 변수와 확률 분포(이산형 확률변수)

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1절. 기초 통계

1.1  용어 정리

-   모집단과 표본

출처 : 통계청

1.2. 실험 

- 실험 : 특정 목적 하에서 실험 대상에게 처리를 가한 후에 그 결과를 관측해 자료를 수집하는 방법

- 측정 : 추출된 원소들이나 실험 단위로부터 주어진 목적에 적합하도록 관측해 자료를 얻는 것.

- 표본 공간어떤 실험할 때 나타날 수 있는 모든 결과들의 집합

- 사건 : 표본공간에 있는 몇 개의 원소들로 이루어진 부분 집합

           - 확률 : 특정 사건이 일어날 가능성의 척도 P(E) = n(E) / n(Ω)

           - 확률변수 : 식

 

1.3. 확률 변수와 확률 분포

- 이산형 확률 변수 : 0 이 아닌 확률 값을 갖는 실수 값이 셀 수 있는 경우의 의미 

                          ex , 이항 분포, 분포, 포아송 분포

- 연속형 확률 변수 : 가능한 값이  실수의 어느 특정 구간 전체에 해당하는 확률 변수를 의미함 

                          ex,  균일 분포,정규분포, 지수분포지수 분포, t-분포, x **2 분포, F-분포 등

 

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## 이산형 확률 변수 & Python 

- 파이썬으로 이산형 확률 변수를 나타내기

0. 라이브러리

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

1. 이항 분포 

 : 어떤 시행에서 사건 X가 일어날 확률이 매회 p로 일정하다고 한다.
  이 시행을 n회 독립적으로 반복할 때, 사건 X가 일어날 횟수를 확률변수 X라 하면 X의 확률분포

  B(n, p)로 나타냄 

 

* np.random.binomial(n, p [, size]) n번의 시도에 p 번의 가능성을 의미.

binomial_x =  np.random.binomial(10, 0.5, 100)
binomial_x

- n = 10, p = 0.5 , size = 500  
- n : 독립적 시행 횟수  
- p : 각 시행이 가질 확률 
- size : 개수(난수 발생) n을 몇 번 발생

- 0.5의 확률로 10번을 던지는데 , 그 행위를 100번 해라 라는 의미

plt.hist(binomial_x, bins=20 )
plt.show()

2. 베르누이 분포 

 : 결과가 두 개인 시행의 결과에 대하여 성공을 1 실패를 0으로 표시하는 확률변수.

   이항 분포의 결과 중 하나라고 생각하면 됨.

 

* np.random.binomial(n=1, p [, size] )

- 이항 분포에서 n = 1 이면 베르누이 결과가 나옴.

bern_x =  np.random.binomial(1, 0.5, 500)
plt.hist(binomial_x2, bins= 50 ) 
plt.show()

3. 기하 분포

 : 베르누이 분포에서 처음 성공했을 때의 성공한 횟수 ex, 처음 앞면이 나오는 횟수.

 

* geometric(p [, size])

geom_x = np.random.geometric(p=0.5 , size = 500)
print(geom_x)
plt.hist(geom_x, bins =50),plt.show()

1 -> 한번만에 앞면이 나옴, 7 -> 7번만에 앞면이 나옴을 의미 

: 9번 안에는 무조건 앞면이 나왔다는 의미이다. 그런데, 랜덤이기 때문에, 그 이상의 수(ex, 12)도 나올 수 있다.

그때는 12번 만에 드디어 앞면이 나왔다는 의미가 된다. 

 

* 위의 그래프를 축적된 합으로 나타낼 수 있다. 

hist_ = plt.hist(geom_x, bins =10)
print(hist_)
plt.show()
hist_cumsum = np.cumsum(hist_[0])
print(hist_cumsum)
plt.bar(range(1,11), hist_cumsum)
plt.show()

4. 다항 분포 

 : 이항 분포를 확장한 것으로 세 가지 이상의 결과를 가지는 사건의 반복 시행에서 발생하는 확률분포이다.

   k개 사건이 일어날 경우, (k－1) 차원의 이산형 분포를 갖는다.

 

* 이항 분포와 다항분포의 차이를 잘 확인해야 한다!  

- 이항분포 : 주사위 1이나 오고 나머지가 나오냐!라는 의미
- 다항 분포 : 각각의 확률이 나오는 것

  (통계에서는 pvals 쓸 때는 마지막 항은 안 적어도 되지만, 코드에서는 꼭! 적어줘야 한다.)

 

* multinomia(n, pvals [, size])

multinorm_x = np.random.multinomial(10, [1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6], 500)  
multinorm_x

5. 포아송 분포

 : 수리적으로 포아송 분포는 사건을 n회 시행할 때 특정한 사건이 y회 발생할 확률분포 중에서 사건을 시행한 수인 n이 무한대인 경우에 해당한다.

- lam : 정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값, 그 이유는 이항 분포의 n* p = 평균이기 때문에. 

          람다 = 이항 분포의 n*p 

   ex, 상담원이 어떤 시간 안에 전화를 받는 기댓값

 

* poisson([lam, size]) :  람다 값이 필요

-  size는 어떻게 분포가 형성될까를 알기 위해서! 

pois_x = np.random.poisson(lam = 4, size = 100)
pois_x

plt.hist(pois_x, bins=50)
plt.show()

pois_x2 = np.random.poisson(lam = 10*1/6, size = 100)
pois_x2

주사위를 10번 던졌을 경우 주사위 눈이 1이 나올 기댓값은 1.67 /  포아송이 분포를 따르는 난수 100개 생성  

그 결과 데이터는 1.67 앞뒤로 더 많은 난수가 발생하는 것을 알 수 있음. 

데이터는 1.67 앞뒤로 더 많은 난수가 발생하는 것을 알 수 있음.